Ebene T


\(\\\)

Aufgabe 1 Ebene T in Koordinatenform

Wir stellen zunächst die Normalenform auf in der Art

\( \quad \left(\vec{x} - \vec{p}\right) \circ \vec{n} = 0 \)

\(\\\) Als \(\vec{p}\) verwenden wir \( \vec{a} = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \)

\(\\\) Den Normalenvektor bilden wir aus den Richtungsvektoren der Ebene

\( \quad \vec{AB} = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-3 \\ 5 \\ -1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \qquad \textit{und} \qquad\vec{AD} = \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \)

\(\\\)

mit dem Kreuzprodukt:

\( \quad \begin{array}{ r c l} \vec{n} & = & \vec{AB} \times \vec{AD} \\[8pt] \vec{n} & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-3 \\ 5 \\ -1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \times \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}-4 \\ 0 \\ 4\end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Dabei gehen wir folgendermaßen vor:

Die beiden Richtungsvektoren werden paarweise 2-mal untereinander geschrieben. Die erste und die letzte Zeile werden gestrichen. Dann wird über Kreuz multipliziert und jeweils die blaue Diagonale (Hauptdiagonale) minus die rote Diagonale (Nebendiagonale) gerechnet.

my image

\(\\\)

Der Normalenvektor lautet \( \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}20 \\ 16 \\ 20 \end{array}\right)\end{smallmatrix} \)

\(\\\) Wir vereinfachen den Normalenvektor indem wir ihn durch \(4\) teilen und erhalten \( \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\ \)

\(\\\) Daraus ergibt sich die

\( \quad \textrm{Normalenform:} \quad \left[\vec{x} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} = 0 \)

\(\\\)

Um weiter in die Koordinatenform zu kommen, lösen wir das Skalarprodukt auf.

\( \quad \begin{array}{ r c r l } \left[ \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\end{smallmatrix} \right] \circ \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\end{smallmatrix} & = & 0 & \\[10pt] \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)\end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}5 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\end{smallmatrix} & = & 0 & \\[10pt] x_1 \cdot 5 + x_2 \cdot 4 + x_3 \cdot 5 - \big(5 \cdot 5 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \big) & = & 0 & \\[8pt] 5x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 30 & = & 0 & \quad \Rightarrow \quad Koordinatenform \\ \end{array} \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 Punkt Z

my image

Den Punkt \(Z\) kann man als Schnittpunkt der Ebene \(T\) und einer Geraden \(g\) , die durch die Punkte \(P\) und \(S\) geht, betrachten. Wir stellen diese Gerade auf:

\( \quad \begin{array}{ r c l } g: \vec{x} & = & \vec{p} + t \cdot \vec{PS} \\[6pt] \vec{x} & = & \vec{p} + r \cdot \left(\vec{s} - \vec{p} \right) \\[8pt] \vec{x} & = & \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} - \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \end{bmatrix} \\[10pt] \vec{x} & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} +t \cdot \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

\(\\\)

Wir setzen die Gerade \(g\) in die Ebene \(T\) ein mit

\( \quad \begin{array}{ r c l } x_1 & = & 0 \\[6pt] x_2 & = & 5t \\[6pt] x_3 & = & 5 \\ \end{array} \)

\(\\\)

\( \quad \begin{array}{ r c l l } 5 \cdot 0 + 4 \cdot 5t + 5 \cdot 5 - 30 & = & 0 & \\[6pt] 20t -5 & = & 0 & | \; +5 \\[6pt] 20t & = & 5 & | \; :20 \\[6pt] t & = & \frac{1}{4} & \\ \end{array} \)

\(\\\)

\(t\) in \(g\) einsetzen:

\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{x} & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} +\frac{1}{4} \cdot \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)\end{smallmatrix} \\[10pt] \vec{x} & = & \begin{smallmatrix}\left(\begin{array}{r}0 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)\end{smallmatrix} + \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ \frac{5}{4} \\ 0 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\[10pt] \vec{x} & = & \begin{smallmatrix}\left( \begin{array}{r}0 \\ \frac{5}{4} \\ 5 \end{array} \right)\end{smallmatrix} \\ \end{array} \)

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Der Punkt \(Z\) hat die Koordinaten \(\left( 0 \, \bigl| \, \frac{5}{4}\, \bigl| \, 5 \right)\).

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